Cara Cepat Menuntaskan Soal Polinomial Dengan Newton Sums

Newton Sums | matematrick.com
Berikut ini aku sajikan soal olimpiade matematika potongan polinomial dan alternatif cara menyelesaikannya memakai metode Newton Sums.

Soal:
Diketahui:
x + y + z = 1
x² + y² + z² = 2
x³ + y³ + z³ = 3
Tentukan nilai dari x⁴ + y⁴ + z⁴ =??

Penyelesaian:

Menggunakan metode ekspansi

x+ y + z = 1
(x+y+z)² = 1²
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = 1²
<=> 2 + 2(xy + xz + yz) = 1
<=> xy + xz + yz = -1/2.

(x + y + z) ³ = 1 ³
<=> x³ + y³ + z³ + 3(x²y + x²z + xy² + y²z + xz² + yz²) + 6xyz = 1³
<=> 3 + 3(x²y + x²z + xyz + xy² + y²z + xyz + xz² + yz² + xyz) - 3xyz = 1
<=> 3(x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)) - 3xyz = -2
<=> 3(x + y + z)(xy + xz + yz) - 3xyz = -2
<=> 3(1)(-1/2) - 3xyz = -2
<=> -3/2 + 2 = 3xyz
<=> 1/2 = 3xyz
<=> xyz = 1/6

(xy + xz + yz) ² = (-1/2) ²
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2(x²yz + xy²z + xyz²) = 1/4
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z) = 1/4
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2(1/6)(1)= 1/4
<=> x²y² + x²z² + y²z² = 1/4 - 1/3 = -1/12

(x² + y² + z²) ² = 2 ²
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²)= 4
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(-1/12) = 4
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ = 4 + 1/6= 25/6

Menggunakan metode Newton Sums

Misalkan x,y,z yaitu akar dari
f(t) = t³ + at² + bt + c = 0
Dari newton sum diperoleh
1 + a = 0
2 + a + 2b = 0
3 + 2a + b + 3c = 0
Sehingga
a = -1, b = -1/2, c = -1/6
sehingga
x⁴ + y⁴ + z⁴ = 1/6(1) + (1/2)(2) + (1)(3) = 25/6.

Contoh lain :

Soal 2:
Diketahui P(x) = x³ + 3x² + 4x - 8 akar-akarnya yaitu r, s, dan t. Tentukan nilai dari r² + s² + t² dan r⁴ + s⁴ + t⁴ !

Penyelesaian:
Menggunakan Newton Sums didapat:
P₁ + 3 = 0
P₂ + 3P₁ + 8 = 0
P₃ + 3P₂ + 4P₁ - 24 = 0
P₄ + 3P₃ + 4P₂ - 8P₁ = 0

didapat nilai P_1, P_2, P_3, dan P₄ berturut-turut = -3, 1, 33, dan -127.

Kaprikornus nilai r² + s² + t² = P₂ = 1, dan
               r⁴ + s⁴ + t⁴ = P₄ = -127.