Materi Osn Matematika Sma

Materi OSN Matematika SMA | Kegiatan Olimpiade Sains Nasional yang diselenggarakan tiap tahun oleh Kemdikbud yaitu sebuah ajang bergengsi untuk siswa yang salah satu tujuannya yaitu untuk menumbuhkembangkan budaya kompetitif yang sehat di kalangan siswa SD/MI, SMP/MTs dan SMA/MA.

Sebagai materi persiapan menyongsong event Olimpiade Sains Nasional khususnya mapel Matematika jenjang SMA, berikut ini akan saya bagikan materi yang diujikan di dalam OSN matematika SMA.

Materi soal-soal olimpiade matematika SMA biasanya bersumber pada buku-buku pelajaran, buku-buku penunjang dan materi lain yang relevan. Penekanan soal OSN matematika Sekolah Menengan Atas yaitu pada aspek penalaran, pemecahan kasus dan komunikasi dalam matematika. Karakteristik soal OSN Matematika Sekolah Menengan Atas yaitu nonrutin dengan dasar teori yang diharapkan cukup dari teori yang diperoleh di Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengan Atas saja. Akan tetapi untuk sanggup menjawab soal, siswa memerlukan kematangan matematika dengan taraf lanjut berupa wawasan, kecermatan, kejelian, kecerdikan, cara berpikir dan pengalaman dengan matematika. Silabus materi olimpiade matematika SMA/MA mengacu kepada silabus International Mathematics Olympiad (IMO) dan sanggup digolongkan ke dalam empat hal, yaitu:

1. Teori Bilangan
2. Aljabar
3. Geometri
4. Kombinatorika

Berikut ini beberapa teori-teori dalam matematika yang biasanya digunakan untuk menuntaskan soal-soal OSN matematika SMA.

1. Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM

Ketaksamaan AM – GM merupakan ketaksamaan yang paling sering digunakan dalam olimpiade matematika SMA. AM kepanjangannya yaitu Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM kepanjangannya adalah Geometric Means atau rata-rata geometris.

Sifat ketaksamaan: Jika x dan y merupakan bilangan real positif, maka berlaku ketaksamaan:



Kesamaan didapat ketika Ruas kiri merupakan AM dan ruas kanan merupakan GM. Kesamaan ini didapat dari sifat bahwa kuadrat dari suatu bilangan selalu positif.

Berikut ini bukti ketaksamaan AM - GM untuk 2 bilangan:

Misal p dan q yang keduanya merupakan bilangan real positif.
Karena kuadrat suatu bilangan selalu positif, maka kita dapat:


Terbukti.

Selain ketaksamaan AM – GM, ada juga sifat ketaksamaan yang lebih luas, yaitu ketaksamaan QM – AM – GM – HM. QM merupakan kependekan dari quadratic means atau rata-rata kuadrat, dan HM merupakan kependekan dari harmonic means atau rata-rata harmonis.

Sifat ketaksamaan:

Kesamaan dicapai ketika

Contoh soal:
Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi

Jawaban:
Karena pangkat variabel x genap, maka niscaya positif, sehingga berlaku ketaksamaan AM – GM:
Karena pada soal dinyatakan bahwa , sedangkan menurut ketaksamaan AM – GM didapat , maka ketaksamaan tersebut hanya dipenuhi bila .
Jadi, memenuhi ketaksamaan ketika atau sehingga yang memenuhi yaitu atau  

2. Teorema Kecil Fermat

Teorema Fermat yaitu teori matematika yang juga sering digunakan di dalam soal-soal OSN matematika SMA, yaitu pada cuilan teori bilangan,
Ada dua teorema Fermat yang paling dikenal, yaitu teorema kecil Fermat (Fermat’s little theorem) dan teorema terakhir Fermat (Fermat’s last theorem). Tetapi yang sering digunakan dalam mengerjakan soal OSN matematika yaitu teori yang pertama.

Teorema kecil Fermat
Misalkan a bilangan lingkaran positif dan sebuah bilangan prima, maka:
Atau biasa juga ditulis dengan dengan a bilangan lingkaran positif yang relatif prima terhadap bilangan prima p.
Ini berarti selalu habis dibagi p dengan p merupakan bilangan prima.

Teorema terakhir Fermat

Teorema fermat yang terakhir menyatakan bahwa tidak ada bilangan asli  yang memenuhi  untuk  (teori fermat yang cukup kontroversial, alasannya yaitu menyisakan problem kepada matematikawan sedunia untuk menandakan kebenarannya dan hingga ketika ini belum ada pembuktian/penjelasan yang sanggup diterima oleh masyarakat matematika dengan bahasa yang sederhana)

Contoh soal penggunaan teori kecil Fermat:
Hitunglah sisa dari   dibagi 41

Penyelesaian:
Berdasarkan teorema Fermat berlaku:
atau
Jelas  maka:
 

Menghitung  :
 

Maka:  .

3. Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan yaitu benar untuk semua bilangan asli.

Langkah-langkah Induksi Matematika

Misalkan  suatu pernyataan yang dinyatakan berlaku untuk semua bilangan orisinil n.
Untuk menandakan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:
Jika  benar, dan
Jika  benar yang mengakibatkan  juga benar,
Maka  bernilai benar untuk setiap bilangan orisinil n.

Contoh Soal Induksi Matematika:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan orisinil n berlaku:
f(n) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2).

Penyelesaian:
Langkah 1:
f(1) = 1 x 2 = 2
Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

Langkah 2:
Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:
f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) = . (persamaan 1)
Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:
f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, menjadi:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = + (k + 1)(k + 2)
Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas.
Terbukti bila untuk n = k benar maka untuk n = k + 1 juga benar.
Makara terbukti pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan orisinil n. 

4. Prinsip Keterbagian

Materi wacana keterbagian tidak diajarkan dalam pelajaran rutin matematika SMA, padahal soal wacana ini biasanya sering digunakan di dalam event olimpiade matematika Sekolah Menengan Atas baik di level OSK atau OSP, yakni pada cuilan teori bilangan.

Keterbagian yaitu sifat yang harus dimiliki suatu bilangan biar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Makna ‘habis’ dalam hal ini yaitu bahwa bila dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. 

Contoh: 

36 habis dibagi 12, hasilnya yaitu 3. 

36 tidak habis dibagi 5, alasannya yaitu menghasilkan 7 dan masih sisa 1. 

Jika a habis dibagi oleh b, atau dalam bahasa lain 'b membagi habis a', maka sanggup dinyatakan dengan b|a .

Sifat-sifat keterbagian:
Misalkan a, b, c, k, dan m merupakan bilangan-bilangan bulat, maka berlaku:
a|a
a|0
1|a
Jika a , maka a
Jika ab , maka a dan b
Jika a dan b , maka a
Jika a dan a a , maka a
Jika a dan b , maka ab bila a dan b relatif prima.

Uji Habis Dibagi
Berikut ini beberapa sifat suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yang lain.
Misalkan N suatu bilangan bulat, maka berlaku : 

- N akan habis dibagi oleh 2, bila bilangan tersebut genap.
- N akan habis dibagi oleh 3, bila jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
- N akan habis dibagi oleh 4, bila dua angka terakhir habis dibagi 4
- N akan habis dibagi oleh 5, bila angka terakhir (angka satuan) nya 0 atau 5
- N akan habis dibagi oleh 8, bila tiga angka terakhirnya habis dibagi 8
- N akan habis dibagi oleh 9, bila jumlah digit-digitnya habis dibagi 9
- N akan habis dibagi oleh 11, bila selisih jumlah bilangan pada posisi genap dengan pada posisi ganjil habis dibagi 11
- N akan habis dibagi oleh  bila angka terakhirnya habis dibagi oleh .
- N akan habis dibagi oleh  bila angka terakhirnya habis dibagi oleh

Contoh soal OSN matematika cuilan keterbagian :
Diketahui a679b merupakan bilangan lingkaran lima digit. Jika bilangan tersebut habis dibagi oleh 72, tentukan nilai dari a dan b. (Canadian Mathematical Olympiad 1980)

Penyelesaian:

Jelas 72 = 8×9, serta 8 dan 9 saling relatif prima

Maka bilangan tersebut habis dibagi 8 dan 9.
Karena habis dibagi , maka tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 9. Berarti, 79b habis dibagi 8. Ternyata yang memenuhi hanya b = 2.

Berikutnya, a679b juga habis dibagi 9. Maka biar habis dibagi 9, jumlah digit-digitnya haruslah habis dibagi 9. Jumlah digitnya yaitu a + 6 + 7 + 9 + 2 = 24 + a. Agar 24 + a habis dibagi 9, maka yang memenuhi hanya a = 3.

5. Prinsip Pengisian Tempat (Pigeonhole Principle)

Prinsip ini sangat sederhana, namun sangat sering digunakan dalam pembuktian pernyataan matematika, terutama dalam bidang kombinatorika.
Prinsip pengisian daerah atau pigeon hole principle sering disebut juga dengan prinsip rumah merpati atau prinsip rumah burung. 

Prinsip pengisian daerah atau Pigeonhole principle 

Jika terdapat n rumah (lubang) merpati dan ada sebanyak m merpati yang akan masuk ke rumah tersebut, dengan m > n, maka akan terdapat sedikitnya 1 lubang yang berisi lebih dari 1 merpati.

Contoh:
1. Buktikan bahwa untuk setiap 8 orang, akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama.

Bukti:
Karena jumlah hari ada 7 dan jumlah orangnya ada 8 orang, maka akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama.

2. Di dalam sebuah kotak terdapat 5 pasang kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah. Berapa banyak kaos kaki yang harus diambil dari dalam kotak tanpa melihat terlebih dahulu, biar sanggup dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama.

Penyelesaian:
Agar didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama dari 5 warna kaos kaki, maka kita harus mengambil minimal 6 buah kaos kaki, sehingga sanggup dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama, sesuai dengan prinsip pengisian rumah burung.

Seandainya kita hanya mengambil 5 buah kaos kaki, ada kemungkinan yang kita sanggup masing-masing 1 kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah, sehingga kita tidak mendapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama.

6. Teorema Eratosthenes

Teorema Erathosthenes yaitu salah satu teorema yang sering digunakan dalam pembuktian teori bilangan terutama yang berkaitan dengan bilangan prima. Secara ringkas penggunaan Teorema Erathosthenes yaitu untuk mempermudah memilih suatu bilangan sembarang yang termasuk ke dalam bilangan prima atau komposit.

Teorema Erathosthenes:

Suatu bilangan N yaitu bilangan prima bila tidak ada bilangan prima p yang lebih kecil dari () yang habis membagi N.

Teorema ini sering juga disebut dengan Sieve of Eratosthenes.
Contoh:
- Bilangan 43 merupakan bilangan prima, alasannya yaitu 2, 3, dan 5 tidak habis membagi 43.

- Bilangan 2011 merupakan bilangan prima, alasannya yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 39, 31, 37, 41, dan 43 tidak habis membagi 2011.

- Bilangan 289 bukan bilangan prima alasannya yaitu bila kita membagi 289 dengan 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17, ternyata 17 habis membagi 289 (17 x 17 = 289).

Catatan:
Pengertian bilangan prima adalah bilangan lingkaran positif yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

7. Persamaan Diophantine

Persamaan Diophantine merupakan persamaan yang solusinya harus berada di himpunan bilangan bulat. Koefisien persamaan ini juga harus bilangan bulat.

Sebagai contoh,

Persamaan Diophantine diperkenalkan oleh matematikawan Yunani berjulukan Diophantus.
Persamaan diophantine yaitu persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c yaitu bilangan-bilangan bulat.
Contoh Persamaan diophantine ax+by=c: 2x+4y= 26.

Persamaan linear diophantine ax+by= c memiliki penyelesaian bila dan hanya bila gcd (a,b) membagi c.
Bukti: Bisa dilihat di GCD (algoritma Eulid). Di sana dinyatakan bahwa: ax+by = \text{gcd (a,b)} . Jadi, c merupakan kelipatan dari gcd (a,b).

Contoh Soal:
Tentukan semua bilangan lingkaran yang memenuhi persamaan berikut: 15x+ 6y=189

Penyelesaian:
Menentukan nilai gcd-nya : 15 = 6 x 2 + 3 dan 6 = 3 x 2 + 0.
Sisa terakhir yaitu gcd-nya. Jadi, gcd (15,6) = 3.
Jelas 189 itu habis dibagi 3. Atau biasa ditulis 3 | 189. Artinya, persamaan itu punya solusi x dan y.
3 = 15 - 6 x 2
3 = 1 x 15 - 2 x 6 (dikali 63)
189 = 63 x 15 - 126 x 6
Makara ditemukan 1 solusi, yaitu x = 63 dan y = -126 (lihat bentuk gcd(a,b)=ax +by).
Menemukan semua solusi:
Tentukan gradien: m= -15/6 = -5/2.
Jelas bahwa bila suatu titik ditambah dengan gradien, maka hasilnya yaitu bilangan lingkaran juga.
Makara didapat semua solusi dalam bentuk parameter k:
y = -126 - 5 k
x = 63 + 2k, untuk k yaitu semua bilangan bulat.
Masukkan sembarang bilangan k, contohnya k= 30.
Maka: y = -126 + 5.30 = 24
dan x = 63 - 2.30 = 3.
Makara persamaannya menjadi :
y = 24 + 5k dan  x = 3 - 2k, untuk k sebarang bilangan bulat.

Namun tidak semua persamaan Diophantine memiliki solusi.
Contoh:
Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan berikut: 15x+ 6y=190.

Penyelesaian:
Menentukan nilai gcdnya : gcd (15,6) = 3.
Jelas 190 tidak habis dibagi 3.
Makara persamaan di atas tidak memiliki solusi untuk semua bilangan lingkaran x dan y.

8. Teorema Dasar Aritmatika

Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa bilangan lingkaran yang lebih besar dari 1 merupakan bilangan prima atau sanggup dibuat dengan mengalikan beberapa bilangan prima sekaligus.

Contoh:

• 2 adalah bilangan prima
• 3 adalah bilangan prima
• 4 = 2 x 2
• 5 adalah bilangan prima
• 18 = 2 x 3 x 3
• 100 = 2 x 2 x 5 x 5
• 208 = 2 x 2 x 2 x 2 x 13

Jadi, setiap bilangan lingkaran yang lebih besar dari 1 niscaya merupakan bilangan prima atau sanggup dinyatakan dalam bentuk perkalian beberapa bilangan prima.

Demikianlah beberapa teorema dan rumus-rumus matematika yang berkenaan dengan materi OSN matematika SMA. Beberapa yang saya bagikan di atas terutama yaitu untuk mengenalkan wacana tipe soal cuilan teori bilangan yang secara eksplisit tidak diajarkan secara pribadi di dingklik SMA.
Selamat berguru dan terus berlatih, alasannya yaitu kunci kesuksesan mengerjakan tipe-tipe soal OSN yaitu latihan yang berulang dan rutin untuk tipe soal sejenis. Terima kasih sudah berkunjung dan membaca Materi OSN Matematika SMA, semoga ada manfaat yang sanggup diambil. Salam.