Barisan Dan Deret Aritmatika

Baris

Baris ialah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

contoh
3, 5, 7, 9, 11, … .
2,5,8,11,14,17,. . .

Deret

Deret ialah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suatu barisan maka ialah Deret.

Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5, ... + Un
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un.

Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika ialah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b”
Contoh:
3, 6, 9, 12, 15.

Barisan diatas merupakan barisan aritmatika alasannya selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 15 – 12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.

Bentuk umum barisan aritmatika:

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), …, (a+(n-1)b)

Beda: b = U_n - U_n-1

Suku ke-n: U_n= a + (n - 1)b

atau U_n= S_n - S_n-1

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh soal:

1. Suku pertama dari barisan aritmatika ialah 4 dan bedanya = 3, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut ialah …
   Penyelesaian:
   a = 3
   b = 4
   n = 10
   U_n= a + (n - 1)b
   U₁₀= 3 + (10 - 1)4
   U₁₀= 3 + 9.4
   U₁₀= 3+36
   U_n= 39
   
2. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, … , tentukan nilai suku ke-15 !
   Penyelesaian:
   a = 5
   b = 3
   n = 15
   U_n= a + (n - 1)b
   U₁₅= 5 + (15 - 1)3
   U₁₅= 5 + 14.3
   U₁₀= 5 + 42
   U_n= 47
   
3. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya ialah 4 dan suku ke-20 ialah 61. Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
   Penyelesaian:
   U₂₀= 61
   a = 4
   b = ?
   U_n= a + (n - 1)b
   61 = 4 + (20 - 1)b
   61 = 4 + (19)b
   61 - 4 = 19 b
   57 = 19b
   b = 57/19
   b = 3
   

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika memiliki banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut ialah sebagai berikut:

U_t= 1/2 (a + U_n)

Contoh soal:

Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya ialah …
Penyelesaian:
barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131
suku pertama, a = 5
suku ke-n, Un = 131 suku tengah: U_t= 1/2 (a + U_n)
U_t= 1/2 (5 + 131)
U_t= 1/2 (136)
U_t= 68

Deret Aritmatika

Deret aritmatika ialah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b

Rumus:
S_n=n/2(a + U_n)
atau

 S_n=n/2(2a + (a + (n - 1)b)

keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama

Contoh soal:
Diketahui deret aritmatika sebagai berikut,10 + 13 + 16 + . . . +U10

Tentukan:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama
Penyelesaian:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama:

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

• Beda barisan aritmatika sehabis disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

• Banyak suku barisan aritmatika sehabis disisipkan k buah suku:

n' = n  + ( n - 1 )k

• Jumlah n suku pertama sehabis disisipkan k buah suku:

Sn = n' / 2 (  a + Un )

Keterangan:
b’ = beda barisan aritmatika sehabis disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
Sn’ = jumlah n suku pertama sehabis disisipkan k buah suku

Contoh Soal:
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi ialah …

Penyelesaian:
Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
a = 20
Un = 116
n = 2 k = 11 bilangan
banyaknya suku gres : n’ = n + (n-1) k
= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13
Jadi, jumlah deret aritmatika sehabis sisipan ialah 884

SOAL LATIHAN

1. Suku ke 4 dan suku ke 9 suatu barisan aritmatika berturut turut 110 dan 150 suku ke 30 dari barisan tersebut ialah . . . .
   A.308
   > B.318
   C.326
   D.344
   


2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 5 ialah 22 dan suku ke 12 ialah 57,maka suku ke 15 dari barisan ini ialah . . . .
   A.68
   B.72
   C.78
   D.84
   


3. suku ke 4 dan suku ke 7 dari barisan aritmatika berturut turut 17 dan 29 maka suku ke 25 ialah . . . .
   A.97
   B.101
   C.105
   D.109
   


4. Suku ke 2 dan suku ke 5 berturut turut 5 dan 14 maka suku ke 20 ialah . . . .
   A.59
   B.62
   C.64
   D.68
   


5. Suku ke 4 dan suku ke 6 berturut turut 7 dan 23 maka suku ke 20 ialah . . . .
   A.20
   B.21
   C.28
   D.31
   


6. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 0, 4, 10, 18.... adalah....
   A. 1/2 n (n + 1)
   B. 2n (n + 1)
   C. (n − 1)(n + 2)
   D. (n + 1)(n + 2)
   
7. Dalam gedung pertunjukkan disusun bangku dengan baris paling depan terdiri dari 12 buah, baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga 16 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya bangku pada baris ke-20 adalah....
   A. 28 buah
   B. 50 buah
   C. 58 buah
   D. 60 buah
   


8. Pada tumpukan kerikil bata, banyak kerikil bata paling atas ada 8 buah, sempurna di bawahnya ada 10 buah, dan seterusnya setiap tumpukan di bawahnya selalu lebih banyak 2 buah dari tumpukan di atasnya. Jika ada 15 tumpukan kerikil bata (dari atas hingga bawah), berapa banyak kerikil bata pada tumpukan paling bawah ?
   A. 35 buah
   B. 36 buah
   C. 38 buah
   D. 40 buah
   


9. Perhatikan gambar pola berikut!
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Banyak bulat pada pola ke-10 adalah....
   A. 99 buah
   B. 104 buah
   C. 115 buah
   D. 120 buah
   


10. Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
    A. –27
    B. –21
    C. –15
    D. –9
    


11. Budi sedang menumpuk bangku yang tingginya masing-masing 90 cm. Tinggi tumpukan 2 bangku 96 cm, dan tinggi tumpukan 3 bangku 102 cm. Tinggi tumpukan 10 bangku adalah....
    A. 117 cm
    B. 120 cm
    C. 144 cm
    D. 150 cm
    


12. Rumus suku ke-n barisan ialah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah....
    A. 80
    B. 70
    C. 60
    D. 50 
13. Perhatikan gambar pola di bawah.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Banyak bulat pada pola ke–20 adalah....
    A. 380
    B. 420
    C. 462
    D. 506
    
    
14. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....
    A. 24, 15
    B. 24, 16
    C. 25, 17
    D. 25, 18
    


15. Diketahui Un = 2n2 − 5. Nilai dari U4 + U5 adalah....
    A. 154
    B. 82
    C. 72
    D. 26
    


16. Dua suku berikutnya dari barisan 3, 4, 6, 9, adalah....
    A. 13, 18
    B. 13, 17
    C. 12, 26
    D. 12, 15
    


17. Dari barisan aritmetika diketahui u3 = 18 dan u7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah....
    A. 786
    B. 1248
    C. 1572
    D. 3144
    
    
18. Amuba membelah diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 15 amuba, maka sehabis 2 jam banyak amuba menjadi.....
    A. 2120
    B. 1920
    C. 960
    D. 480
    
    
19. Suatu barisan aritmetika, suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 30. Jumlah 30 suku pertama adalah...
    A. 1.290
    B. 1.920
    C. 3.840
    D. 3.480
    
    
20. Diketahui barisan bilangan −3, 1, 5, 9, 13,.... . Suku ke-52 adalah...
    A. 201
    B. 207
    C. 208
    D. 215
    
    
21. Diketahui barisan bilangan 8, 4, 2, 1,.... Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah....
    A. 2n + 2
    B. 2n − 4
    C. 2−n + 4
    D. 2n − 1
    
    
22. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U5 = 7 dan U8 = 13. Suku ke-20 adalah….
    A. 39
    B. 37
    C. – 37
    D. – 39
    
    
23. Dari barisan aritmetika diketahui U3 = 18 dan U7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah....
    A. 786
    B. 1.248
    C. 1.572
    D. 3.144
    
    
24. Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 bangku lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah bangku dalam ruang sidang tersebut adalah….
    A. 555
    B. 385
    C. 1.110
    D. 1.140
    
    
25. Diketahui barisan bilangan: 3, 8, 13, 18, 23,....
    Suku ke-32 adalah.....
    A. 465
    B. 168
    C. 158
    D. 153
    
    
26. Seutas tali dibagi menjadi enam bagian, sehingga bagian-bagiannya membentuk barisan geometri. Jika panjang tali terpendek 9 cm dan panjang tali terpanjang 288 m, maka panjang tali mula-mula adalah....
    A. 567 m
    B. 576 m
    C. 586 m
    D. 596 m
    
    
27. Jumlah bilangan kelipatan 4 antara 200 dan 400 adalah....
    A. 9.504
    B. 14.300
    C. 14.604
    D. 14.700