Sewaktu di Sekolah Dasar, kalian tentunya telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat bukan? Untuk menuntaskan operasi penjumlahan bilangan lingkaran sanggup dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan memakai pemberian garis bilangan dan dengan cara pribadi tanpa alat bantu. Untuk lebih jelasnya perhatikan tumpuan berikut.
Contoh 1:
Dengan memakai garis bilangan, hitunglah 6 + (-8)!
Jawab:
Bilangan 6 dan -8 kita gambarkan dalam bentuk anak panah pada garis bilangan menyerupai yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Untuk menghitung 6 + (-8), langkah-langkahnya ialah sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan hingga pada angka 6.
(b) Gambarlah anak panah kedua dimulai dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
(c) Gambarlah anak panah ketiga dimulai dari pangkal anak panah pertama menuju ujung anak panah kedua. Nilai yang ditunjuk oleh anak panah ketiga merupakan hasil dari 6 + (-8) = -2.
Contoh 2:
Tanpa memakai pemberian garis bilangan, hitunglah penjumlahan bilangan lingkaran berikut ini.
a) 125 + 234
b) -58 + (-72)
c) 75 + (-90)
d) (-63) + 125
Jawab:
a) 125 + 234 = 359
b) -58 + (-72) = -(58 + 72) = -130
c) 75 + (-90) = -(90 – 75) = -15
d) (-63) + 125 = 125 – 63 = 62
Apabila kalian sudah paham mengenai konsep penjumlahan pada bilangan bulat, sekarang kita saatnya mencar ilmu mengenai sifat-sifat operasi hitung penjumlahan bilangan bulat. Sifat-sifat penjumlahan ini tentu akan mempermudah dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat. Ada 5 sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan bilangan bulat, yaitu tertutup, komutatif, asosiatif, unsur identitas dan invers. Berikut ini klarifikasi dan tumpuan masing-masing sifat tersebut.
#1 Sifat Tertutup
Untuk memahami sifat tertutup pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.
a) 2 + 9 = 11
■ 2 dan 9 ialah bilangan bulat
■ Hasil penjumlahannya 11 juga merupakan bilangan bulat
b) (-11) + (-9) = -20
■ (-11) dan (-9) ialah bilangan bulat
■ Hasil penjumlahannya -20 juga merupakan bilangan bulat
c) -12 + 25 = 13
■ -12 dan 25 ialah bilangan bulat
■ Hasil penjumlahannya 13 juga merupakan bilangan bulat
Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa:
Penjumlahan bilangan lingkaran akan selalu menghasilkan bilangan lingkaran juga atau sanggup ditulis jikalau a dan b ∈ B, maka a + b ∈ B. Sifat tertutupbilangan lingkaran sanggup dinyatakan sebagai berikut: a + b = c dengan a, b, dan c ∈ B. |
#2 Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk memahami sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh berikut ini.
a) Penjumlahan bilangan positif dengan positif
5 + 7 = 12
7 + 5 = 12
Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
b) Penjumlahan bilangan positif dengan negatif
10 + (-5) = 5
(-5) + 10 = 5
Jadi, 10 + (-5) = (-5) + 10
c) Penjumlahan bilangan negatif dengan negatif
-4 + (-5) = -9
(-5) + (-4) = 9
Jadi, -4 + (-5) = -5 + (-4)
Dari contoh-contoh di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa:
Hasil penjumlahan bilangan lingkaran selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan menyerupai ini disebut sifat komutatif dan ditulis sebagai berikut: a + b = b + a |
#3 Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
Untuk memahami sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.
a) Penjumlahan bilangan positif dengan positif
(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20
5 + (7 + 8) = 5 + 15 = 20
Jadi, (5 + 7) + 8 = 5 + (7 + 8)
b) Penjumlahan bilangan positif dengan negatif
{7 + (-2)} + 6 = 5 + 6 = 11
7 + {(-2) + 6} = 7 + 4 = 11
Jadi, {7 + (-2)} + 6 = 7 + {(-2) + 6}
c) Penjumlahan bilangan negatif dengan negatif
{-3 + (-6)} + (-5) = -9 + (-5) = -14
-3 + {-6 + (-5)} = -3 + (-11) = -14
Jadi, {-3 + (-6)} + (-5) = -3 + {-6 + (-5)}
Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa:
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut sanggup dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c = a + (b + c) |
#4 Unsur Identitas (Netral)
Untuk memahami unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh berikut ini.
a) 2 + 0 = 2
b) 5 + 0 = 5
c) -10 + 0 = -10
d) 0 + 3 = 3
Dari contoh-contoh di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa:
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan lingkaran apabila ditambah 0 (nol), jadinya ialah bilangan itu sendiri. Dengan demikian, untuk sebarang bilangan lingkaran a, selalu berlaku sifat berikut. a + 0 = 0 + a = a |
#5 Sifat Invers (Lawan)
Setiap bilangan lingkaran mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bilangan lingkaran ialah bilangan lingkaran lain yang letakknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol, tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan lingkaran semula. Agar lebih jelas, perhatikan gambar garis bilangan lingkaran berikut ini.
Tampak pada garis bilangan di atas sebagai berikut.
a) Bilangan-bilangan di sebelah kanan dan kiri dari 0, yang berjarak sama terhadap 0 sanggup dipasangkan, yaitu:
■ -1 dengan 1
■ -2 dengan 2
■ -3 dengan 3
■ -4 dengan 4
b) Jumlah dua bilangan dalam setiap pasangan jadinya selalu nol, yaitu:
■ -1 + 1 = 0
■ -2 + 2 = 0
■ -3 + 3 = 0
■ -4 + 4 = 0
Kedua bilangan dalam setiap pasangan itu dikatakan saling berlawanan yaitu:
■ Lawan dari 1 ialah -1 atau lawan dari -1 ialah 1
■ Lawan dari 2 ialah -2 atau lawan dari -2 ialah 2 dan seterusnya.
Dari contoh-contoh di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa:
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0). Untuk sebarang bilangan lingkaran a, maka: ■ Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a ialah a Dengan kata lain, untuk setiap bilangan lingkaran selain nol niscaya mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0 |
Contoh Soal dan Pembahasan
Agar kalian sanggup memakai sifat-sifat operasi penjumlahan di atas, silahkan pelajari beberapa tumpuan soal dan penyelesaiannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Hitunglah penjumlahan bilangan berikut ini.
a) 42 + 34
b) 28 + (-34)
c) -64 + 33
d) -13 + (-18)
Jawab:
a) 42 + 34 = 76
b) 28 + (-34) = -6
c) -64 + 33 = -31
d) -13 + (-18) = -31
Contoh Soal #2
Dengan memakai sifat asosiatif, hitunglah penjumlahan berikut.
a) 27 + 32 + 68
b) 34 + 64 + 34 + 66
c) 373 + 127 + 234 + 166
Jawab:
a) 27 + (32 + 68) = 27 + 100 = 127
b) (34 + 64) + (34 + 66) = 98 + 100 = 198
c) 373 + {127 + (234 + 166)} = 373 + (127 + 400) = 373 + 527 = 900
Contoh Soal #3
Dengan memakai sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah penjumlahan berikut ini.
a) 73 + 91 + 27
b) 84 + 83 + 16 + 17
c) 124 + 123 + 176 + 177
d) 139 + 164 + 161 + 136
Jawab:
a) 73 + 91 + 27 = (73 + 27) + 91 = 100 + 91= 191
b) 84 + 83 + 16 + 17 = (84 + 16) + ( 83 + 17) = 100 + 100 = 200
c) 124 + 123 + 176 + 177 = (124 + 176) + (123 + 177) = 300 + 300 = 600
d) 139 + 164 + 161 + 136 = (139 + 161) + (164 + 136) = 300 + 300 = 600
0 Response to "5 Sifat Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat, Pola Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)"