Dalam artikel sebelumnya, telah dibahas mengenai konsep dan sifat perkalian bilangan bulat. Materi tersebut sangat bermanfaat dalam memilih kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu bilangan dipakai untuk memilih Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan. Lalu tahukah kalian bagaimana cara memilih KPK dan FPB suatu bilangan? Jika belum tahu, simak klarifikasi berikut.
#1 Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Di tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan memperdalam bahan tersebut. Jika k anggota A = 1, 2, 3, … maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.
Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
…
Bilangan orisinil kelipatan 3 sanggup ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, …
Contoh soal
a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30
b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30
c. Tentukan semua bilangan orisinil yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.
Penyelesaian:
a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.
1 × 2 = 2 | 6 × 2 = 12 | 11 × 2 = 22 |
2 × 2 = 4 | 7 × 2 = 14 | 12 × 2 =24 |
3 × 2 = 6 | 8 × 2 = 16 | 13 × 2 = 26 |
4 × 2 = 8 | 9 × 2 = 18 | 14 × 2 = 28 |
5 × 2 = 10 | 10 × 2 = 20 |
Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 yakni 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 yakni 5, 10, 15, 20, 25
c. Semua bilangan orisinil yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5 yakni 10, 20. Bilangan 10 dan 20 ini selanjutnya disebut kelipatan komplotan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.
#2 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih
Bilangan kelipatan 3 yakni 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …
Bilangan kelipatan 4 yakni 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
Bilangan kelipatan 3 dan 4 yakni 12, 24, …
Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan komplotan dari 3 dan 4 yakni 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4. Dengan demikian, sanggup kita simpulkan konsep mengenai KPK yaitu sebagai berikut.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan orisinil yakni bilangan terkecil anggota himpunan bilangan orisinil yang habis dibagi oleh p dan q. |
Contoh soal
a. Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4
b. Tentukan KPK dari 2, 4, dan 5
c. Tentukan KPK dari 3, 5, dan 6
Penyelesaian:
a. KPK dari 2, 3, dan 4 dicari dengan cara berikut.
Bilangan orisinil kelipatan 2 yakni 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 3 yakni 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 4 yakni 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Dari kelipatan 2, 3 dan 4 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 2, 3 dan 4 yakni 12. Kaprikornus KPK dari 2, 3 dan 4 yakni 12.
b. KPK dari 2, 4, dan 4 dicari dengan cara berikut.
Bilangan orisinil kelipatan 2 yakni 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 4 yakni 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 5 yakni 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
Dari kelipatan 2, 4 dan 5 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 2, 4 dan 5 yakni 20. Kaprikornus KPK dari 2, 4 dan 5 yakni 20.
c. KPK dari 3, 5, dan 6 dicari dengan cara berikut.
Bilangan orisinil kelipatan 3 yakni 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 5 yakni 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
Bilangan orisinil kelipatan dari 6 yakni 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …
Dari kelipatan 3, 5 dan 6 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 3, 5 dan 6 yakni 30. Kaprikornus KPK dari 3, 5 dan 6 yakni 30.
#3 Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Perhatikan perkalian bilangan berikut.
1 × 8 = 8
2 × 4 = 8
Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8. Sekarang perhatikan perkalian berikut.
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 5 = 5
1 × 7 = 7
Bilangan-bilangan 2, 3, 5 dan 7 masing-masing hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan menyerupai ini disebut bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang sempurna memiliki dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Dengan demikian, yang dimaksud dengan faktor yakni sebagai berikut.
Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan orisinil yang apabila dikalikan dengan bilangan orisinil lain akhirnya sama dengan k. |
Contoh soal
a. Tentukan semua faktor dari 25
b. Tentukan semua faktor dari 30
c. Tentukan semua faktor prima dari 45
Penyelesaian:
a. Faktor dari 25 sanggup ditentukan dengan cara berikut.
1 × 25 = 25
5 × 5 = 25
Jadi, semu faktor dari 25 yakni 1, 5, dan 25.
b. Faktor dari 30 sanggup ditentukan dengan cara berikut.
1 × 30 = 30
2 × 15 = 30
3 × 10 = 30
5 × 6 = 30
Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semua faktor dari 30 yakni 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30.
c. Ingat kembali cara memilih faktor prima suatu bilangan dengan pohon faktor. Dengan memakai pohon faktor, faktor prima dari 45 yakni sebagai berikut.
Jadi, semua faktor prima dari 45 yakni 3 dan 5.
Dari pola soal a dan b di atas, diperoleh bahwa:
■ Faktor dari 25 adalah 1, 5 dan 15
■ Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30
Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30. Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor komplotan dari 25 dan 30. Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 25 dan 30. Dengan demikian, sanggup kita simpulkan sebagai berikut.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan yakni bilangan orisinil terbesar yang merupakan faktor komplotan kedua bilangan tersebut. |
Contoh soal
a. Tentukan FPB dari 16 dan 24.
b. Tentukan FPB dari 9, 18, dan 36
Penyelesaian:
a. Untuk memilih FPB, pertama kita tentukan faktor komplotan dari bilangan 16 dan 24, yaitu sebagai berikut.
1 × 16 = 16 | 1 × 24 = 24 |
2 × 8 = 16 | 2 × 12 = 24 |
4 × 4 = 16 | 3 × 8 = 24 |
4 × 6 = 24 |
Faktor dari 16 = 1, 2, 4, 8, 16
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dari faktor 16 dan 24 di atas, bilangan terbesar yang habis membagi 16 dan 24 yakni 8. Kaprikornus FPB dari 16 dan 24 yakni 8.
b. Faktor komplotan dari bilangan 9, 18 dan 24 yakni sebagai berikut.
1 × 9 = 9 | 1 × 18 = 18 | 1 × 24 = 24 |
3 × 3 = 9 | 2 × 9 = 18 | 2 × 12 =24 |
3 × 6 = 18 | 3 × 8 = 24 | |
4 × 6 = 24 |
Faktor dari 9 = 1, 3, 9
Faktor dari 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dari faktor 9, 18 dan 24 di atas, bilangan terbesar yang habis membagi 9, 18 dan 24 yakni 3. Kaprikornus FPB dari 9, 18 dan 24 yakni 3.
#4 Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan
Penentuan kelipatan komplotan terkecil (KPK) dan faktor komplotan terbesar (FPB) dengan cara mencari kelipatan komplotan atau faktor untuk bilangan yang nilainya besar merupakan pengerjaan yang sulit. Untuk mempermudah, dipakai cara pemfaktoran bilangan prima atau lebih dikenal dengan faktorisasi prima. Yang dimaksud dengan faktorisasi prima yakni sebagai berikut.
Faktorisasi prima adalah perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan. |
Untuk memilih faktorisasi prima suatu bilangan, kita sanggup memakai pohon faktor. Misalnya, kita akan memilih KPK dan FPB dari 36 dan 40 dengan cara pemfaktoran. Langkah-langkahnya yakni sebagai berikut.
Pertama: kita tentukan faktor prima dari 36 dan 40 dengan pohon faktor
Kedua: dari pohon faktor di atas, faktorisasi prima dari 36 dan 40 yakni sebagai berikut.
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
Ketiga: tentukan KPK dan FPB dari faktorisasi prima di atas dengan cara berikut.
Kelipatan komplotan terkecil (KPK) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, menyerupai 22 dan 23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 23.
Jadi, KPK dari 36 dan 40 yakni 23 × 32 × 5 = 360
Adapun faktor komplotan terbesar (FPB) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilangan pokok yang sama, dengan pangkat terendah.
Jadi, FPB dari 36 dan 40 yakni 22 = 4.
Dari pola di atas, sanggup kita simpulkan sebagai berikut.
■ | Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi. |
■ | Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) diperoleh dengan cara mengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah. |
Contoh soal
a. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan 45, 78 dan 100 dengan cara memfaktorkan.
Penyelesaian:
Faktor prima dari 45, 78 dan 100 ditunjukkan pada gambar pohon faktor berikut ini.
Dari pohon faktor di atas, maka faktorisasi prima dari 45, 78 dan 100 yakni sebagai berikut.
45 = 32 × 5
78 = 2 × 3 × 13
100 = 22 × 52
Dengan demikian, KPK dan FPB dari 45, 78 dan 100 yakni sebagai berikut.
KPK = 22 × 32 × 52 × 13 = 11.700.
FPB = 1 (karena tidak ada bilangan pokok yang sama dari faktor 45, 78 dan 100).
b. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan 24, 36 dan 72 dengan cara memfaktorkan.
Penyelesaian:
Coba kalian gambarkan sendiri pohon faktor untuk mencari faktor dari prima dari 24, 36 dan 72. Jika kalian menggambarkan dengan benar, maka faktorisasi prima dari 24, 36 dan 72 menurut pohon faktor yang kalian buat yakni sebagai berikut.
24 = 23 × 3
36 = 22 × 32
72 = 23 × 32
Dengan demikian, KPK dan FPB dari 24, 36 dan 72 yakni sebagai berikut.
KPK = 23 × 32 = 72
FPB = 22 × 3 = 12
0 Response to "Cara Gampang Memilih Komisi Pemberantasan Korupsi & Fpb, Pola Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)"