Operasi Hitung Perpangkatan Pecahan, Sifat, Pola Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)

Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada penggalan dengan pangkat bilangan bundar positif. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada penggalan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol. Dalam artikel sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bundar berpangkat bilangan bundar faktual berlaku:

an	=	a × a ×  a × … × a,	untuk setiap bilangan bundar a
		n faktor

Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlaku pada bilanga pecahan berpangkat. Perhatikanlah uraian berikut ini.

	1		1	=	1
	2				2

	1		2	=	1	×	1	=	1	=	1
	2				2		2		22		4

	1		3	=	1	×	1	×	1	=	1	=	1
	2				2		2		2		23		8

	1		n	=	1	×	1	×	…	×	1
	2				2		2				2
					n faktor

Dari uraian di atas, secara umum sanggup dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bundar p dan q dengan q ≠ 0 dan m bilangan bundar faktual berlaku:

p

m

=

p

×

p

×

…

×

p

q

q

q

q

m faktor

Dalam hal ini, bilangan pecahan p/q disebut bilangan pokok.

Contoh 1:

Tentukan hasil operasi hitung penggalan berikut.

−	2		2
	3

Jawab:

−	2		2	=	−	2	×	−	2	=	(−2) × (−2)	=	4
	3					3			3		3 × 3		9

Contoh 2:

Tentukan hasil operasi hitung penggalan berikut.

	3		3
	4

Jawab:

	3		3	=	3	×	3	×	3	=	3 × 3 × 3	=	27
	4				4		4		4		4 × 4 × 4		64

Sifat-Sifat Bilangan Pecahan Berpangkat

Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan bundar berpangkat bilangan bundar positif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada bilangan penggalan berpangkat sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bundar p, q dengan q ≠ 0 dan m, n bilangan bundar faktual berlaku sifat-sifat berikut.

	P		m	=	pm
	q				qm

P

m

×

P

n

=

P

m + n

q

q

q

P

m

:

P

n

=

P

m − n

q

q

q

					n
		P		m		=			P		m × n
		q							q

Contoh 3:

Tentukan nilai perpangkatan berikut.

	2		5	:			2		2
	3						3

Jawab:

	2		5	:			2		2	=			2		5 − 2
	3						3						3

	2		3	=	2	×	2	×	2	=	8
	3				3		3		3		27

Contoh 4:

Tentukan nilai perpangkatan berikut.

					3
		3		2
		5

					3
		3		2		=			3		2 × 3
		5							5

	3		6	=	729
	5				15.625

Contoh Soal dan Pembahasan

1) Tentukanlah hasil perpangkatan penggalan berikut ini.

2	1		3
	2

Jawab:

Untuk perpangkatan pecahan campuran, terlebih bentuk penggalan adonan diubah menjadi bentuk penggalan biasa.

2	1		3	=			5		3
	2						2

	5		3	=	53	=	125	=	15	5
	2				23		8			8

2) Tentukanlah nilai pemangkatan berikut ini.

	2		3	×			2		2
	5						5

Jawab:

	2		3	×			2		2	=			2		5 + 2
	5						5						5

	2		7	=	27	=	128
	5				57		78.125

3) Hitunglah!

	1		3	+			3		2
	2						4

Jawab:

Sebelum dijumlahkan, masing-masing penggalan dipangkatkan terlebih dahulu, yaitu sebagai berikut.

	1		3	=	13	=	1
	2				23		8

	3		2	=	32	=	9
	4				42		16

Maka, hasil penjumlahannya ialah sebagai berikut.

	1	+	9	=	2 + 9	=	11
	8		16		16		16

4) Hitunglah nilai n dari:

	2		n	=	16
	3				81

Jawab:

	2		n	=	24
	3				34

	2		n	+			2		4
	3						3

Jadi nilai n = 4.

5) Sebuah bola dipantulkan dari lantai. Pantulan pertama 21/2 m. Tinggi pantulan berikutnya ditetapkan 2/3 kali pantulan sebelumnya. Hitunglah berapa meter panjangnya dari pantulan pertama hingga pantulan keempat.

Jawab:
Pantulan pertama: 21/2

Pantulan kedua: 2/3 × pantulan pertama = 2/3 × 21/2

Pantulan ketiga: 2/3 × pantulan kedua = 2/3 × (2/3 × 21/2)

Pantulan keempat: 2/3 × pantulan ketiga = 2/3 × (2/3 × 2/3 × 21/2)

Maka panjang pantulan pertama hingga pantulan keempat ialah sebagai berikut.

Jumlah pantulan = pantulan pertama + kedua + ketiga + keempat

Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 2/3 × 21/2)

Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + {(2/3)2 × 21/2)} + {(2/3)3 × 21/2)}

Jumlah pantulan = 21/2{1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3}

Jumlah pantulan = 21/2{1 + 2/3 + 4/9 + 8/27}

Jumlah pantulan = 21/2{27/27 + 18/27 + 12/27 + 8/27}

Jumlah pantulan = 21/2(65/27)

Jumlah pantulan = 5/2 × 65/27

Jumlah pantulan = 325/54

Jumlah pantulan = 61/54

Jadi, panjang pantulan dari pantulan pertama hingga pantulan keempat ialah 61/54 meter.