Perkalian, Pembagian Dan Perpangkatan Aljabar Suku Sejenis Dan Tak Sejenis (Materi Smp)

Perkalian dan Pembagian Suku Sejenis dan Tidak Sejenis

Kalian telah mempelajari konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat. Konsep tersebut juga berlaku untuk memilih perkalian dan pembagian suku-suku bentuk aljabar.

Untuk a bilangan real, a ≠ 0 dan m dan n bilangan bulat, maka berlaku: am × an = am+n am : an = am–n ; m > n

Contoh:

1. a × a = a1+1 = a2

2. a3 × a5 = a3+5 = a8

3. a9 : a6 = a9–6

4. 12a3b2 : 4a3b2 = 3

5. 4a × 2b = (4 × 2) × a × b = 8ab

6. 3a3 × 5ab2 = 15a4b3

7. 18a3 : 6a2 = 18/6(a3–2) = 3a

8. 14x2y5 : 7x2y4 = 2y

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Sederhanakanlah

a. 5 × 3 × a × b

b. 3 × m × 4 × n × m

c. 5 × a2 × (–2b) × (–a)

Jawab:

a. 5 × 3 × a × b = (5 × 3)(a × b)

= (15)(ab)

= 15ab

b. 3 × m × 4 × n × m = (3 × 4)(m × m)(n)

= (12)(m2)(n)

= 12m2n

c. 5 × a2 × (–2b) × (–a) = (5)(a2 × (-a))(-2b)

= (5)(-a2+1)(-2b)

= (5)(-a3)(-2b)

= (5)(2a3b)

= 10a3b

2. Sederhanakanlah bentuk berikut.

a. (2a2) × (5a2b2)

b. (-3ab3) × (-3a4b2)

Jawab:

a. (2a2) × (5a2b2) = (2 × 5)(a2 × a2)(b2)

= (10)(a2+2)(b2)

= (10)(a4)(b2)

= 10a4b2

b. (-3ab3) × (-3a4b2) = (-3 × -3)(a × a4)(b3 × b2)

= (-9)(a1+4)(b3+2)

= (-9)(a5)(b5)

= -9a5b5

3. Sederhanakanlah pembagian berikut.

a.	10a2b
	2a

b.	12a2b3
	4a3b2

c.	18a5b3
	6a4b2

d.	30a5b2
	15a5b

Jawab:

a. (10 : 2)(a2 : a)(b : 1)

= (5)(a2–1)(b)

= (5)(a)(b)

= 5ab

b. (12 : 4)(a2 : a3)(b3 : b2)

= (3)(a2–3)(b3–2)

= (3)(a-1)(b1)

=	3b
	a

c. (18 : 6)(a5 : a4)(b3 : b2)
= (3)(a5–4)(b3–2)

= (3)(a1)(b1)

= 3ab

d. (30 : 15)(a5 : a5)(b2 : b)

= (2)(a5–5)(b2–1)

= (2)(a0)(b1)

= 2(1)(b)

= 2b

Catatan penting: semua bilangan maupun peubah apabila dipangkatkan 0 akhirnya ialah 1.

Misalnya:

10 = 1

20 = 1

a0 = 1

x0 = 1

4. Diketahui:

x = 3a + 5b

y = 7a – 3b

hitunglah:

a. 2x + y

b. 2x – 3y

c. –x – 2y

d. x + y

Jawab:

a. 2x + y = 2(3a + 5b) + 7a – 3b

= 6a + 10b + 7a – 3b

= (6a + 7a) + (10b – 3b)

= 13a + 7b

b. 2x – 3y = 2(3a + 5b) – 3(7a – 3b)

= 6a + 10b – 21a + 9b

= (6a – 21a) + (10b + 9b)

= -15a + 19b

c. –x – 2y = -(3a + 5b) – 2(7a – 3b)

= -3a – 5b – 14a + 6b

= (-3a – 14a) + (-5b + 6b)

= -17a + b

d. x + y = 3a + 5b + 7a – 3b

= (3a + 7a) + (5b – 3b)

= 10a + 2b

5. Sebuah persegi panjang dengan panjang (3x + 5) dan lebarnya 2x. Hitunglah luas persegi panjang tersebut.

Jawab:

Luas pesegi panjang = panjang × lebar

L = (3x + 5) × (2x)

L = (3x × 2x) + (5 × 2x)

L = 6x2 + 10x

Perpangkatan Suku Sejenis dan Tidak Sejenis

Konsep perpangkatan pada bilangan bundar yang sudah dibahas dalam artikel sebelumnya, juga berlaku untuk memilih perpangkatan suku-suku bentuk aljabar, yaitu sebagai berikut.

Untuk a, b bilangan real, a, b ≠ 0, m dan n bilangan bulat, maka berlaku: (am)n = am×n (a × b)m = am × bm (am × bm)n = (a × b)m×n

Contoh:

Pangkatkanlah bentuk aljabar berikut.

a. (x3)2

b. (3p2)3

c. (xy)5

d. {(3p3q2)3}2

Jawab:

a. (x3)2 = x3×2

= x6

b. (3p2)3 = (3)2 × (p2×3)

= 9p6

c. (xy)5 = (x5)(y5)

= x5y5

d. {(3p3q2)3}2 = (3)3×2 × (p3×3×2) × (q2×3×2)

= 36 × p18 × q12

= 729p18q12

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Sederhanakanlah perpangkatan bentuk aljabar di bawah ini.

a. (y2)3

b. (3a4)3

c. (–2p2q)3

d. (9x3y5)2

e. (–a2b2)4

Jawab:

a. (y2)3 = y2×3

= y6

b. (3a4)3 = (3)3 × (a4×3)

= 27a12

c. (–2p2q)3 = (-2)3 × (p2×3) × (q3)

= (-8)(p6)(q3)

= -8p6q3

d. (9x3y5)2 = (9)2 × (x3×2) × (y5×2)

= (81)(x6)(y10)

= 81x6y10

e. (–a2b2)4 = (-1)4 × (a2)4 × (b2)4

= (1)(a2×4)(b2×4)

= a8b8

2. Sederhanakanlah perpangkatan bentuk aljabar di bawah ini.

a. (b2c3)2

b. (2x2y3)4

c. ((–2x2yz3)2)3

d. (6 × 3y4)2 : 18x6y

Jawab:

a. (b2c3)2 = (b2×2)(c3×2)

= b4c6

b. (2x2y3)4 = (24)(x2×4)(y3×4)

= (16)(x8)(y12)

= 16x8y12

c. ((–2x2yz3)2)3 = (-2)2×3(x2×2×3)(y2×3)(z3×2×3)

= (-2)6(x12)(y6)(z18)

= 64x12y6z18

Catatan penting: bilangan atau peubah negatif apabila mempunyai pangkat bilangan genap, maka akhirnya positif. Sedangkan apabila  mempunyai pangkat bilangan ganjil, maka akhirnya tetap negatif.

Misalnya:

(-2)2 = 4

(-2)3 = -8

(-a)4 = a4

(-a)5 = -a5

d. (6 × 3y4)2 : 18x6y = {(6)2 × (3)2 × (y4×2)} : 18x6y

= (36 × 9 × y8) : 18x6y

= 324y8 : 18x6y

= (324 : 18)(x0 : x6)(y8 : y1)

= (18)(x0–6)(y8–1)

= (18)(x-6)(y7)

=	18y7
	x6

3. Sederhanakanlah perpangkatan bentuk aljabar di bawah ini.

a. (–8x2y3z5)3

b. (–81mn)2 : 34mn

c. (–21x2y2z2)2 : (21x2y2z2)2

Jawab:

a. (–8x2y3z5)3 = (-8)3(x2×3)(y3×3)(z5×3)

= -512x6y9z15

b. (–81mn)2 : 34mn = {(-81)2(m2)(n2)} : 34mn

= 812m2n2 : 81mn

= (812 : 81)(m2 : m)(n2 : n)

= (812-1)(m2-1)(n2-1)

=  (811)(m1)(n1)

= 81mn

c. (–21x2y2z2)2 : (21x2y2z2)2

misalkan a = 21x2y2z2, maka:

(–21x2y2z2)2 : (21x2y2z2)2 = (-a)2 : (a)2

= a2 : a2

= a2-2

= a0

= 1