Coba kalian perhatikan Gambar (a). Diketahui terdapat tiga susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas dua apel yang saling sejajar. Perhatikan pula Gambar (b). Diketahui terdapat dua susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas tiga apel yang saling sejajar. Banyaknya buah apel pada gambar (a) dan (b) masing-masing berjumlah (3 × 2) dan (2 × 3) buah.
3 × 2 dan 2 × 3 merupakan salah satu bentuk operasi bilangan bulat yang disebut perkalian. Pada dasarnya, operasi perkalian bilangan bundar sanggup dinyatakan dalam bentuk penjumlahan berulang. Perhatikan teladan berikut.
3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6
2 × 3 = 3 + 3 = 6
Meskipun akhirnya sama, perkalian 3 × 2 dan 2 × 3 berbeda artinya. Secara umum, bentuk dari perkalian bilangan bundar sanggup dituliskan sebagai berikut.
Apabila kalian sudah paham mengenai perkalian bilangan bundar yaitu bentuk dari penjumlahan berulang, sekarang ketika kita mencar ilmu mengenai konsep perkalian bilangan bundar serta sifat-sifatnya. Konsep yang dimaksud yaitu perkalian antara bilangan bundar positif dengan positif, positif dengan negatif dan negatif dengan negatif. Silahkan perhatikan klarifikasi berikut ini.
Konsep Pekalian Bilangan Bulat
Untuk memahami konsep perkalian bilangan bulat, coba kalian perhatikan tabel perkalian dengan pola yang berbeda berikut ini.
× | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
3 | 9 | 6 | 3 | 0 | −3 | −6 | −9 |
2 | 6 | 4 | 2 | 0 | −2 | −4 | −6 |
1 | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
−1 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
−2 | −6 | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
−3 | −9 | −6 | −3 | 0 | 3 | −6 | −9 |
Dari data pada tabel di atas, tampak bahwa:
■ Hasil kali dua bilangan bundar postif yaitu bilangan bundar positif.
Contoh:
3 × 3 = 9
2 × 3 = 6
1 × 3 = 3
■ Hasil kali bilangan bundar positif dengan bilangan bundar negatif yaitu bilangan bundar negatif.
Contoh:
3 × (−3) = −9
2 × (−1) = −2
(−2) × 3 = −6
(−3) × 1 = −3
■ Hasil kali dua bilangan bundar negatif yaitu bilangan bundar positif.
Contoh:
(−2) × (−2) = 4
(−3) × (−2) = 6
(−1) × (−3) = 3
Kesimpulan:
■ | Hasil kali dua bilangan bundar yang bertanda sama selalu positif. (+) × (+) = (+) dan (−) × (−) = (+) |
■ | Hasil kali dua bilangan bundar yang berbeda tanda selalu negatif. (+) × (−) = (−) dan (−) × (+) = (−) |
Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Bulat
Sifat-sifat perkalian bilangan bundar antara lain tertutup, komutatif, identitas/netral, perkalian dengan nol, asosiatif, distributif perkalian terhadap penjumlahan dan distributif perkalian terhadap pengurangan. Berikut ini yaitu klarifikasi dan teladan masing-masing sifat tersebut.
#1 Bersifat Tertutup
Untuk sanggup memahami sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
● 2 × 5 = 10
2 dan 5 merupakan bilangan bulat, hasil kalinya yaitu 10 juga merupakan bilangan bulat.
● −5 × 7 = −35
−5 dan 7 yaitu bilangan bulat, hasilnya −35 juga merupakan bilangan bulat.
Jadi, sanggup disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bundar atau lebih bersifat tertutup dan dirumuskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bundar a dan b, kalau a × b = c, maka c juga merupakan bilangan bulat. |
#2 Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk memahami sifat komutatif atau pertukaran pada perkalian bilangan bulat, perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
● 3 × (−7) = −21
● −7 × 3 = −21
Dengan demikian, 3 × (−7) = −7 × 3 = −21 sehingga pada perkalian bilangan bundar selalu berlaku sifat komutatif. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bundar a dan b, selalu berlaku a × b = b × a. |
#3 Unsur Identitas (Netral)
Apa itu unsur identitas pada perkalian bilangan bulat? Perhatikan teladan di bawah ini.
Contoh:
● 10 × 1 =10
● 5 × 1 =5
● −5 × 1 = −5
● −3 × 1 = −3
Dari contoh-contoh operasi perkalian di atas, maka sanggup kita simpulkan bahwa semua bilangan bundar kecuali nol (0) bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bundar a , selalu berlaku a × 1 = 1 × a = a. |
#4 Perkalian dengan Nol
Perhatikan teladan operasi hitung perkalian bilangan bundar positif dan negatif dengan nol berikut ini.
Contoh:
● 5 × 0 = 0
● −3 × 0 = 0
● 0 × 2 = 0
● 0 × (−4) = 0
Jadi, untuk semua bilangan bundar positif dan negatif apabila dikalikan dengan nol (0) akhirnya yaitu nol. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bundar a , selalu berlaku a × 0 = 0 × a = 0. |
#5 Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
Untuk memahami sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, coba kalian perhatikan beberapa teladan berikut ini.
● {6 × (−5)} × (−2) = −30 × (−2) = 60
● 6 × {−5 × (−2)} = 6 × 10 = 60
Jadi, {6 × (−5)} × (−2) = 6 × {−5 × (−2)} = 60. Berdasarkan teladan ini maka sanggup kita ambil kesimpulan sebagai berikut.
Untuk bilangan bundar a, b, dan c selalu berlaku (a × b) × c = a (b × c). |
#6 Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
Contoh:
Perhatikan tabel berikut!
a | b | c | b + c | a × (b + c) | a × b | a × c | (a × b) + (a × c) |
−2 | 2 | −3 | −1 | 2 | −4 | 6 | 2 |
3 | −2 | 4 | 2 | 6 | −6 | 12 | 6 |
Dari tabel di atas, apa yang sanggup kalian simpulkan? Hasil yang diperoleh pada kolom 5 dan 8 pada tabel tersebut menawarkan bahwa pada perkalian bilangan bundar berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Secara umum sifat distributif ini dituliskan sebagai berikut.
Untuk bilangan bundar a, b, dan c berlaku a × (b + c) = (a × b) + (a × c). |
#7 Sifat Distributif Perkalian terhadap Pengurangan
Contoh:
Perhatikan tabel berikut!
a | b | c | b − c | a × (b − c) | a × b | a × c | (a × b) − (a × c) |
−2 | 2 | −3 | 5 | −10 | −4 | 6 | −10 |
3 | −2 | 4 | −6 | −18 | −6 | 12 | −18 |
Dari tabel di atas, apa yang sanggup kalian simpulkan? Hasil yang diperoleh pada kolom 5 dan 8 pada tabel di atas menawarkan bahwa pada perkalian bilangan bundar berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan atau selisih. Secara umum sifat distributif ini dituliskan sebagai berikut.
Untuk bilangan bundar a, b, dan c berlaku a × (b − c) = (a × b) − (a × c). |
Contoh Soal dan Pembahasan
Agar kalian sanggup memahami konsep dan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat, silahkan pelajari beberapa teladan soal dan penyelesaiannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Tulislah arti perkalian berikut, kemudian selesaikan.
a. 8 × 4
b. 2 × (–3)
c. 3 × p
d. 4 × (–p)
e. 4 × 8
f. 5 × (–2p)
Jawab:
a. 8 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32
b. 2 × (–3) = (–3) + (–3) = –6
c. 3 × p = p + p + p = 3p
d. 4 × (–p) = (–p) + (–p) + (–p) + (–p) = –4p
e. 4 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32
f. 5 × (–2p) = (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) = –10p
Contoh Soal #2
Hitunglah hasil perkalian berikut.
a. 7 × (–18)
b. (–12) × (–15)
c. (–16) × 9
d. 25 × 0
e. (–24) × (–11)
f. 35 × (–7)
Jawab:
a. 7 × (–18) = –126
b. (–12) × (–15) = 180
c. (–16) × 9 = –144
d. 25 × 0 = 0
e. (–24) × (–11) = 264
f. 35 × (–7) = –245
Contoh Soal #3
Dengan memakai sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah hasil dari operasi perkalian berikut ini.
a. 25 × 16 × (–4)
b. 48 × 25 × 4 × (–20)
c. 24 × 15 × (–24) × (–85)
d. (–124) × 125 × (–8) × 20
Jawab:
a. 25 × 16 × (–4) = {25 × (–4)} × 16 = 100 × 16 = 160
b. 48 × 25 × 4 × (–20) = (25 × 4) × {48 × (–20)} = 100 × (–960) = –96.000
c. 24 × 15 × (–24) × (–85) = (24 × 15) × {–24 × (–85)} = 360 × 2040 = 734.400
d. (–124) × 125 × (–8) × 20 = {125 × (–8)} × (–124 × 20) = –1.000 × (–2480) = 2.480.000
Contoh Soal #4
Hitunglah perkalian bilangan berikut dengan memakai sifat distributif.
a. 32 × 6 + 32 × 14
b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62
c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52
d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73)
Jawab:
a. 32 × 6 + 32 × 14 = 32 × (6 + 14) = 32 × 20 = 640
b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62 = 36 × (14 + 24 + 62) = 36 × 100 = 3.600
c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52 = 25 × (48 + 52 + 52) = 25 × 152 = 3.800
d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73) = 62 × {15 + 12 – (– 73)} = 62 × 100 = 6.200
0 Response to "Konsep Dan 7 Sifat Perkalian Bilangan Bulat, Pola Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)"