Konsep Dan 5 Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat, Rujukan Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)

Konsep Perpangkatan Bilangan Bulat

Coba kalian ingat kembali bahan di Sekolah Dasar perihal pengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan ialah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut ini.

21	=	2
22	=	2 × 2	(22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)
	=	4
23	=	2 × 2 × 2	(23 dibaca 2 pangkat 3)
	=	8
…
2n	=	2 × 2 × 2 × … × 2	(2n dibaca 2 pangkat n)
		n kali

Secara umum sanggup dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan lingkaran p dan bilangan lingkaran faktual n, berlaku

pn	=	p × p × p × … × p
		sebanyak n faktor

Dengan p disebut bilangan pokok (basis) dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.

Menghitung Bilangan Bulat Negatif yang Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Untuk sanggup menemukan konsep dalam menghitung bilangan lingkaran negatif yang berpangkat bilangan lingkaran positif, perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

Hitunglah nilai dari perpangkatan bilangan lingkaran di bawah ini.

a. (−2)3

b. (−3)4

c. (−4)5

d. (−5)6

Jawab:

a. (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (negatif)

b. (−3)4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = 81 (positif)

c. (−4)5 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = −1.024 (negatif)

d. (−5)6 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = 15.625 (positif)

Dari hasil perhitungan di atas, maka sanggup kita ambil kesimpulan sebagai berikut.

■	Bilangan negatif yang berpangkat bilangan ganjil akibatnya ialah bilangan negatif.
■	Bilangan negatif yang berpangkat bilangan genap akibatnya ialah bilangan positif.

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Operasi hitung bilangan berpangkat mempunyai beberapa sifat atau pola khusus yang sanggup mempermudah dalam menuntaskan perhitungannya. Terdapat 5 sifat pokok dalam operasi hitung bilangan berpangkat, yaitu: sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat, sifat perpangkatan bilangan berpangkat, sifat perpangkatan suatu perkalian dan sifat perpangkatan suatu pembagian. Berikut klarifikasi lengkapnya.

#1 Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Untuk sanggup memahami sifat perkalian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

a.	32 × 33	=	(3 × 3) × (3 × 3 × 3)
		=	3 × 3 × 3 × 3 × 3
		=	35
b.	43 × 44	=	(4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)
		=	4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
		=	47
c.	54 × 56	=	(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
		=	5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
		=	510

Berdasarkan pola di atas, maka sanggup disimpulkan bahwa hasil kali dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama ialah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan jumlah pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum dirumuskan sebagai berikut.

am × an = a(m + n)

#2 Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Untuk sanggup memahami sifat pembagian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

a.	23 : 22	=	23	=	22 × 2	=	2
			22		22
b.	37 : 34	=	37	=	34 × 33	=	33
			34		34
c.	58 : 53	=	58	=	53 × 55	=	55
			53		53

Berdasarkan pola di atas, sanggup kita ambil kesimpulan bahwa hasil bagi dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama ialah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan selisih pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum, sifat pembagian bilangan berpangkat dituliskan sebagai berikut.

am : an = a(m – n)

#3 Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Untuk sanggup memahami sifat perpangkatan pada bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

a. (23)2 = 23 × 23 = 2(3 + 3) = 26

b. (35)4 = 35 × 35 × 35 × 35 = 3(5 + 5 + 5 + 5) = 320

c. (43)5 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 = 4(3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 415

Berdasarkan tiga pola tersebut sanggup disimpulkan bahwa hasil pemangkatan suatu bilangan berpangkat ialah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan hasil kali pangkat-pangkat tersebut. Secara umum, sifat perpangkatan bilangan berpangkat dirumuskan sebagai berikut.

(am)n = a(m × n)

#4 Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian

Untuk sanggup memahami sifat perpangkatan suatu perkalian bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

a. (2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2) × (3 × 3) = 22 × 32

c. (5 × 2)3 = (5 × 2) × (5 × 2) × (5 × 2) = (5 × 5 × 5) × (2 × 2 × 2) = 53 × 23

b. (3 × 5)4 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = (3 × 3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5 × 5) = 34 × 54

Dari pola di atas sanggup kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dari perkalian bilangan lingkaran ialah masing-masing bilangan pokok dipangkatkan lalu dikalikan. Secara umum, sifat perpangkatan pada perkalian suatu bilangan dituliskan sebagai berikut.

(a × b)m = am × bm

#5 Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian

Untuk sanggup memahami sifat perpangkatan suatu pembagian bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.

Contoh:

a.	(2 : 3)2	=	2	×	2	=	22	=	22 : 32
			3		3		32

b.	(5 : 2)3	=	5	×	5	×	5	=	53	=	53 : 23
			2		2		2		23

c.	(3 : 5)4	=	3	×	3	×	3	×	3	=	34	=	34 : 54
			5		5		5		5		54

Dari pola di atas sanggup kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dari pembagian bilangan lingkaran ialah masing-masing bilangan pokok dipangkatkan lalu dibagikan. Secara umum, sifat perpangkatan pada pembagian suatu bilangan dituliskan sebagai berikut.

(a : b)m = am : bm

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kalian sanggup memahami konsep dan sifat-sifat operasi perpangkatan pada bilangan bulat, silahkan pelajari beberapa pola soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal 1

Tentukanlah hasil dari operasi perpangkatan bilangan lingkaran berikut ini.

a. 92

b. 113

c. –63

d. (–13)2

e. (–4)3

f. 23 × 24

g. (–5)2 × (–5)3

h. ((–3)2)3

i. (–22)2

j. –(3 × (–5))2

Jawab:

a. 92 = 9 × 9 = 81

b. 113 = 11 × 11 × 11 = 1.331

c. –63 = –(6 × 6 × 6) = –216

d. (–13)2 = (–13) × (–13) = 169

e. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64

f. 23 × 24 = 23 + 4 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

g. (–5)2 × (–5)3 = (–5)2 + 3 = (–5)5 = (–5) × (–5) × (–5) × (–5) × (–5) = –3.125

h. ((–3)2)3 = (–3)2 × 3 = (–3)6 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 729

i. (–22)2 = –22 × 2 = –24 = –(2 × 2 × 2× 2) = –16

j. –(3 × (–5))2 = –(32 × (–5)2) = –(9 × 25) = –225

Contoh Soal 2

Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini.

a. 45 × 43

b. –69 : 64

c. 5 × (–5)4 × 58

d. 89 : 83 : 82

e. x7 : x3 × x6

f. y5 × y8 : y

g. ((–3)5)4

h. ((–2)5 × (–23))2

i. (46 : 43)4

j. (–z3)5 × (–z2)4

Jawab:

a. 45 × 43 = 45 + 3 = 48

b. –69 : 64 = –69 – 4 = –65

c. 5 × (–5)4 × 58 = 51 × 54 × 58 = 51 + 4 + 8 = 513

d. 89 : 83 : 82 = 89 – 3 – 2 = 84

e. x7 : x3 × x6 = x7 – 3 + 6 = x10

f. y5 × y8 : y = y5 + 8 – 1 = y12

g. ((–3)5)4 = (–3)5 × 4 = (–3)20

h. ((–2)5 × (–23))2 = (–2)5 × 2 × (–23 × 2) = (–2)10 × (–210) = –210 + 10 = –220

i. (46 : 43)4 = 46 × 4 : 43 × 4 = 424 : 412 = 424  – 12 = 412

j. (–z3)5 × (–z2)4 = –z3 × 5 × (–z2 × 4) = –z15 × (–z8) = –z15 + 8 = –z23

Contoh Soal 3

Dengan memakai sifat perpangkatan suatu pekalian atau pembagian bilangan bulat, sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. (3 × 4)5

b. (6 : 2)4

c. ((–2)2 × 33)2

d. (4 × 2)3 : 34

e. (–4 : 2)2 × 42

Jawab:

a. (3 × 4)5 = (3 × 22)5 = 35 × 210

b. (6 : 2)4 = (2 × 3 : 2)4 = 24 × 34 : 24 = 24 – 4 × 34 = 20 × 34 = 34

c. ((–2)2 × 33)2 = (–2)2 × 2 × 33 × 2 = (–2)4 × 36

d. (4 × 2)3 : 34 = (22 × 2)3 : 34 = 22 × 3 × 23 : 34 = 26 × 23 : 34 = 26 + 3 : 34 = 29 : 34

e. (–4 : 2)2 × 42 = (–22 : 2)2 × (22)2 = (–22)2 : 22 × 24 = (–2)4 : 22 × 24 = 24 : 22 × 24 = 24 – 2 – 4 = 26