Menghitung Pangkat Aljabar Suku Dua Dengan Segitiga Pascal Dan Misalnya (Materi Smp)

Untuk menghitung hasil pangkat aljabar suku dua bentuk (a + b)c dengan a dan b yaitu bilangan bundar dan c bilangan bundar positif salah satu cara termudahnya yaitu dengan memakai segitiga pascal. Lalu tahukah kalian bagaimana penerapan (aplikasi) atau penggunaan segitiga pascal dalam menghitung pangkat aljabar suku dua tersebut? Untuk mengetahuinya, silahkan kalian simak baik-baik klarifikasi berikut ini.

Apa itu Segitiga Pascal?

Menurut Wikipedia, segitiga Pascal yaitu suatu hukum geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Bahasa mudahnya yaitu menyerupai ini, segitiga Pascal merupakan barisan angka-angka yang tersusun sedemikian rupa sampai apabila dihubungkan dengan suatu garis pada bab tepinya akan membentuk bangkit segitiga. Perhatikan gambar berikut ini.

Segitiga Pascal ini menyatakan koefisien dari suatu hasil perpangkatan suku dua menyerupai bentuk (a + b), (x + y), (m + n), (p + q) dan sebagainya. Dari gambar segitiga Pascal di atas, semakin ke bawah formasi angka akan semakin panjang dan nominalnya akan semakin besar. Hal ini selaras dengan nominal pangkatnya.

Bagaimana Cara Membangun Segitiga Pascal?

Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur biar terkait dengan nomor-nomor dalam barisan genap. Untuk menciptakan konstruksi sederhana pada segitiga Pascal dilakukan dengan cara berikut.

□ Di barisan nol, hanya ditulis nomor 1.

□ Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan barikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara pribadi di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru.

□ Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama yaitu 0 + 1 = 0, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi pembuatan segitiga Pascal dalam animasi berikut ini.

Cara Menggunakan Segita Pascal

Misalkan kita akan memilih rujukan koefisien pada klasifikasi bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.

□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1  1

□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1  2  1

□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1  3  3  1

dan seterusnya.

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 kemudian bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

Perhatikan rujukan koefisien yang terbentuk dari klasifikasi bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan berdasarkan segitiga Pascal berikut.

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

Sekarang coba perhatikan hukum penerapan segitiga Pascal dalam menjabarkan perpangkatan aljabar suku dua berikut ini.

Contoh:

(a + b)5 = 1(a)5(b)0 +  5(a)4(b)1 + 10(a)3(b)2 + 10(a2)(b)3 + 5(a)1(b)4 + 1(a)0(b)5

□ Dari perhitungan di atas, angka bercetak tebal menyatakan koefisien yaitu 1, 5, 10, 10, 5, 1. Hal ini sesuai dengan rujukan angka pada baris ke-6 segitiga Pascal di atas.

□ Kemudian apabila kalian perhatikan, pangkat variabel a dari kiri ke kanan semakin berkurang yaitu a5, a4, a3, a2, a1 dan a0.

□ Sedangkan pangkat variabel b dari kiri ke kanan semakin bertambah yaitu b0, b1, b2, b3, b4 dan b5.

□ Jadi sanggup dikatakan bahwa jumlah pangkat dari a dan b selalu 5 sesuai dengan banyaknya perpangkatan aljabar suku dua tersebut. Perhatikan uraian berikut.

● 1(a)5(b)0 = 5 + 0 = 5

● 5(a)4(b)1 = 4 + 1 = 5

● 10(a)3(b)2 = 3 + 2 = 5

● 5(a)1(b)4 = 1 + 4 = 5

● 1(a)0(b)5 = 0 + 5 = 5

Dari hasil perhitungan di atas, maka hasil dari (a + b)5 adalah sebagai berikut.

(a + b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5

Contoh Soal dan Pembahasan

Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut.

a. (x + 2)2

b. 3(2x – 1)3

c. 2(3p + q)4

d. –3(–x – y)3

e. (4x – 2y)3

f. 5(3a + 2)4

g. (y + 1)5

h. (–2x – 3y)3

Penyelesaian:

a. (x + 2)2 = 1(x)2(2)0 + 2(x)1(2)1 + 1(x)0(2)2

= x2 + 4x + 4

b. 3(2x – 1)3 = 3[1(2x)3(-1)0 + 3(2x)2(-1)1 + 3(2x)1(-1)2 + 1(2x)0(-1)3]

= 3(2x3 – 12x2 + 6x – 1)

= 6x3 – 36x2 + 18x – 3

c. 2(3p + q)4 = 2[1(3p)4(q)0 + 4(3p)3(q)1 + 6(3p)2(q)2 + 4(3p)1(q)3 + 1(3p)0(q)4]

= 2(81p4 + 108p3q + 54p2q2 + 12pq3 + q4)

= 162p4 + 216p3q + 108p2q2 + 24pq3 + 2q4

d. –3(–x – y)3 = -3[1(-x)3(-y)0 + 3(-x)2(-y)1 + 3(-x)1(-y)2 + 1(-x)0(-y)3]

= -3(-x3 – 3x2y – 3xy2 – y3)

= 3x3 + 9x2y + 9xy2 + 3y3

e. (4x – 2y)3 = 1(4x)3(-2y)0 + 3(4x)2(-2y)1 + 3(4x)1(-2y)2 + 1(4x)0(-2y)3

= 64x3 – 96x2y + 48xy2 – 8y3

f. 5(3a + 2)4 = 5[1(3a)4(2)0 + 4(3a)3(2)1 + 6(3a)2(2)2 + 4(3a)1(2)2 + 1(3a)0(2)4]

= 5[1(81a3)(1) + 4(27a3)(2) + 6(9a2)(4) + 4(3a)(4) + 1(1)(16)]

= 5(81a3 + 216a3 + 216a2 + 48a + 16)

= 405a3 + 1080a3 + 1080a2 + 240a + 80

g. (y + 1)5 = 1(y)5(1)0 + 5(y)4(1)1 + 10(y)3(1)2 + 10(y)2(1)3 + 5(y)1(1)4 + 1(y)0(1)5

= y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1

h. (–2x – 3y)3 = 1(-2x)3(-3y)0 + 3(-2x)2(-3y)1 + 3(-2x)1(-3y)2 + 1(-2x)0(-3y)3

= 1(-8x3)(1) + 3(4x2)(-3y) + 3(-2x)(9y2) + 1(1)(-27y3)

= -8x3 – 36x2y – 54xy2 – 27y3