Sifat Perkalian Aljabar, Perkalian Istimewa Dan Pola Penerapannya (Materi Smp)

Sifat Perkalian Bentuk Aljabar dan Penerapannya

Sifat-sifat perkalian:

□ ab = ba, komutatif.

□ a(b + c) = ab + ac, distributif perkalian terhadap penjumlahan.

□ a(b – c) = ab – ac, distributif perkalian terhadap pengurangan.

□ abc = (ab)c = a(bc), sifat asosiatif.

1. Perkalian suatu Bilangan dengan Suku Dua atau Lebih

Untuk menuntaskan soal-soal perkalian ini dipakai sifat distributif.

Contoh:

a. 5(2x + y) = 10x + 5y

b. (2 – 5a)3a = 2(3a) – 5a(3a)

= 6a – 15a2

c. 3a(a2 + 2a – 3) = 3a(a2) + 3a(2a) + 3a(–3)

= 3a3 + 6a2 – 9a

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sangat dibutuhkan untuk mempermudah mencari hasil perkalian dua bilangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

a. 5 × 36 = 5(30 + 6)

= 5 × 30 + 5 × 6

= 150 + 30

= 180

b. 9 × 74 = 9(70 + 4)

= 9 × 70 + 9 × 4

= 730 + 36

= 666

c. 6 × 235 = 6(200 + 30 + 5)

= 6 × 200 + 6 × 30 + 6 × 5

= 1200 + 180 + 30

= 1410

2. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

Misalnya (a ± b)(c ± d). Untuk menuntaskan perkalian ini dipakai sifat distributif, yaitu:

(a ± b)(c ± d) = a(c ± d) ± b(c ± d)

= ac ± ad ± bc ± bd

Dengan cara perkalian di atas sanggup kalian perluas menjadi perkalian suku dua dengan suku tiga atau suku tiga dengan suku tiga dan seterusnya.

Contoh:

a. (x + 2)(2x – 1) = x(x + 2) + 2(2x – 1)

= x2 + 2x + 4x – 2

= x2 + 6x – 2

b. (2x – 3)(x2 + 2x – 4) = 2x(x2 +2x – 4) – 3(x2 + 2x – 4)

= 2x3 + 4x2 – 8x – 3x2 – 6x + 12

= 2x3 + x2 – 14x + 12

Penggunaan sifat perkalian (a ± b)(c ± d) = ac ± ad ± bc ± bd untuk memilih hasil kali dua bilangan.

Contoh:

a. 35 × 56 = (30 + 5)(50 + 6)

= 30(50 + 6) + 5(50 + 6)

= 1500 + 180 – 250 + 30

= 1960

b. 45 × 74 = (40 + 5)(70 + 4)

= 40(70 + 4) + 5(70 + 4)

= 2800 + 160 + 350 + 20

= 3330

Perkalian Istimewa

Apabila pada perkalian (a ± b)(c ± d) dilakukan beberapa perubahan, maka akan diperoleh bentuk-bentuk perkalian istimewa.

1. Untuk c = a, maka

■ (a + b)(c + d) = (a + b)(a + d)

= a2 + (b + d)a + bd

■ (a – b)(c – d) = (a – b)(a – d)

= a2 – (b + d)a + bd

Contoh:

(x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 × 5

= x2 + 8x + 15

2. Untuk c = a dan d = b

(a + b)(c + d) = (a + b)(a + b)

= (a + b)2

= a2 + 2ab + b2

Contoh:

(x + 5)(x + 5) = (x + 5)2

= x2 + 10x + 25

3. Untuk c = a dan d = b

(a – b)(a – b) = (a – b)2

= a2 – 2ab + b2

Contoh:

(x – 9)(x– 9) = (x – 9)2

= x2 – 18x + 81

4. Untuk c = a dan d = b

(a ± b)(c ∓ d) = a2 – b2

Contoh:

a. (x + 3)(x– 3) = x2 – 9

b. (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 9

Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar sanggup dipakai untuk memilih hasil kali bilagnan-bilangan dengan cara yang paling mudah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh:

1. 25 × 28 = (20 + 5)(20 + 8)

= 202 + (5 + 8)20 + 5 × 8

= 400 + 13 × 20 + 40

= 400 + 260 + 40

= 700

2. 56 × 54 = (50 + 6)(50 + 4)

= 502 + (6 + 4)50 + 6 × 4

= 2500 + 500 + 24

= 3024

3. 49 × 41 = (40 + 9)(40 + 1)

= 402 + (9 + 1)40 + 9 × 1

= 1600 + 400 + 9

= 2009

Hasil kali dua bilangan yang angka puluhannya sama dan jumlah angka satuannya 10 sanggup diperoleh dengan cara yang lebih gampang lagi. Misalnya:

4. 54 × 46 = (50 + 4)(50 – 4)

= 502 – 42

= 2500 – 16

= 2484

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan hasil kali bilangan berikut dengan memakai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

a. 4 × 75

b. 6 × 84

c. 9 × 72

d. 4 × 215

f. 5 × 275

e. 8 × 325

Jawab:

a. 4 × 75 = 4(70 + 5)

= 280 + 20

= 300

b. 6 × 84 = 6(80 + 4)

= 480 + 24

= 504

c. 9 × 72 = 9(70 + 2)

= 630 + 18

= 648

d. 4 × 215 = 4(200 + 10 + 5)

= 800 + 40 + 20

= 860

f. 5 × 275 = 5(200 + 70 + 5)

= 1000 + 350 + 25

= 1375

e. 8 × 325 = 8(300 + 20 + 5)

= 2400 + 160 + 40

= 2600

2. Gunakan rumus (a + b)(c + d) untuk perkalian berikut.

a. 24 × 26

b. 45 × 43

c. 53 × 57

d. 62 × 68

e. 81 × 89

f. 96 × 94

Jawab:

a. 24 × 26 = (20 + 4)(20 + 6)

= 202 + (4 + 6)20 + 4 × 6

= 400 + 200 + 24

= 624

b. 45 × 43 = (40 + 5)(40 + 3)

= 402 + (5 + 3)40 + 5 × 3

= 1600 + 320 + 15

= 1935

c. 53 × 57 = (50 + 3)(50 + 7)

= 502 + (3 + 7)50 + 3 × 7

= 2500 + 500 + 21

= 3021

d. 62 × 68 = (60 + 2)(60 + 8)

= 602 + (2 + 8)60 + 2 × 8

= 3600 + 600 + 16

= 4216

e. 81 × 89 = (80 + 1)(80 + 9)

= 802 + (1 + 9)80 + 1 × 9

= 6400 + 800 + 9

= 7209

f. 96 × 94 = (90 + 6)(90 + 4)

= 902 + (6 + 4)90 + 6 × 4

= 8100 + 900 + 24

= 9024

3. Gunakan rumus (a + b)(a – b) untuk menuntaskan perkalian di bawah ini. a. 43 × 37

b. 56 × 43

c. 74 × 66

d. 57 × 43

e. 95 × 85

Jawab:

a. 43 × 37 = (40 + 3)(40 – 3)

= 402 – 32

= 1600 – 9

= 1591

b. 56 × 43 = (50 + 6)(50 – 7)

= 502 + (6 – 7)50 + 6 × (-7)

= 2500 – 50 – 42

= 2408

c. 74 × 66 = (70 + 4)(70 – 4)

= 702 – 42

= 4900 – 16

= 4884

d. 57 × 43 = (50 + 7)(50 – 7)

= 502 – 72

= 2500 – 49

= 2451

e. 95 × 85 = (90 + 5)(90 – 5)

= 902 – 52

= 8100 – 25

= 8075

4. Selesaikan perkalian bilangan berikut dengan memakai sifat-sifat perkalian.

a. 8 × 245

b. 65 × 64

c. 82 × 87

d. 7 × 324

e. 84 × 75

f. 92 × 88

Jawab:

a. 8 × 245 = 8(200 + 40 + 5)

= 1600 + 320 + 40

= 1960

b. 65 × 64 = (60 + 5)(60 + 4)

= 602 + (5 + 4)60 + 5 × 4

= 3600 + 540 + 20

= 4160

c. 82 × 87 = (80 + 2)(80 + 7)

= 802 + (2 + 7)80 + 2 × 7

= 6400 + 720 + 14

= 7134

d. 7 × 324 = 7(300 + 20 + 4)

= 2100 + 140 + 28

= 2268

e. 84 × 75 = (80 + 4)(80 – 5)

= 802 + (4 – 5)80 + 4 × (-5)

= 6400 – 80 – 20

= 6300

f. 92 × 88 = (90 + 2)(90 – 2)

= 902 – 22

= 8100 – 4

= 8096