Operasi Hitung Perpangkatan Aljabar, Pola Soal Dan Pembahasan (Materi Smp)

Coba kalian ingat kembali bahan ihwal operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai bentuk perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan lingkaran a, berlaku sebagai berikut.

pn	=	p × p × p × … × p
		sebanyak n faktor

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.

1. (2p)2

2. –(3x2yz3)3

3. (–3p2q)2

Penyelesaian:

1. (2p)2 = (2p) × (2p) = 4p2

2. –(3x2yz3)3 = –27x6y3z9

3. (–3p2q)2 = 9p4q2

Contoh Soal 2:

a. (2a)2

b. (3xy)3

c. (–2ab)4

d. (4a2b2)2

e. –3(x2y)3

f. –(2pq)4

g. 1/2(2xy)2

h. a(ab2)3

Penyelesaian:

a. (2a)2 = 4a2

b. (3xy)3 = 9x3y3

c. (–2ab)4 = 16a4b4

d. (4a2b2)2 = 16a4b4

e. –3(x2y)3 = -3(x5y3) = -3x5y3

f. –(2pq)4 = -(16p4q4) = -16p4q4

g. 1/2(2xy)2 = 1/2(4x2y2) = 2x2y2

h. a(ab2)3 = a(a3b5) = a4b5

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan memilih pola koefisien pada pembagian terstruktur mengenai bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.

□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1  1

□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1  2  1

□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1  3  3  1

dan seterusnya.

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2

lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari pembagian terstruktur mengenai bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan berdasarkan segitiga Pascal berikut.

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

Info Matematika!

Aturan penerapan segitiga Pascal dalam menjabarkan perpangkatan aljabar suku dua yaitu sebagai berikut. Contoh: (a + b)5 = 1(a)5(b)0 +  5(a)4(b)1 + 10(a)3(b)2 + 10(a2)(b)3 + 5(a)1(b)4 + 1(a)0(b)5 (a + b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5

Sekarang perhatikan pola berikut ini.

Contoh Soal 3:

Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a. (3x + 5)2

b. (2x – 3y)2

c. (x + 3 y)3

d. (a – 4)4

Penyelesaian:

a. (3x + 5)2 = 1(3x)2(5)0 + 2(3x)1(5)1 + 1(3x)0(5)2

= 1(9x2)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)

= 9x2 + 30x + 25

b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2(-3y)0 + 2(2x)1(–3y)1 + 1(2x)0(–3y)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(–3y) + 1(1)(9y2)

= 4x2 – 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3 = 1(x)3(3y)0 + 3(x)2(3y)1 + 3(x)1(3y)2 + 1(x)0(3y)3

= 1(x3)(1) + 3(x2)(3y) + 3(x)(9y2) + 1(1)(27y3)

= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

d. (a – 4)4 = 1(a)4(-4)0 + 4(a)3(-4)1 + 6(a)2(-4)2 + 4(a)1(-4)3 + 1(a)0(-4)4

= 1(a4)(1) + 4(a3)(-4) + 6(a2)(16) + 4(a)(-64) + 1(1)(256)

= a4 − 16a3 + 96a2 − 256a + 256

Info Matematika!

Semua bilangan dipangkatkan dengan nol, kesannya yaitu 1. Contoh: (1)0 = 1; (2)0 = 1; (-3)0 = 1; (-4)0 = 1; (a)0 = 1; (-b)0 = 1; (2x)0 = 1; (-3y)0 = 1.

Contoh Soal 4:

Pada bentuk aljabar berikut, tentukan koefisien dari

a. x2 pada (2x – 5)2.

b. x2 pada (x – 3)5.

c. x3y pada (3x + 2y)4.

d. x2y2 pada (x + 2y)4.

e. a3 pada (4 – 2a)4.

Penyelesaian:

a. (2x – 5)2 = 1(2x)2(-5)0 + 2(2x)1(-5)1 + 1(2x)0(-5)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(-5) + 1(1)(25)

= 4x2 – 20x + 25

Jadi, koefisien x2 adalah 4.

b. (x – 3)5 = 1(x)5(-3)0 + 5(x)4(-3)1 + 10(x)3(-3)2 + 10(x)2(-3)3 + 5(x)1(-3)4 + 1(x)0(-3)5

= 1(x5)(1) + 5(x4)(-3) + 10(x3)(9) + 10(x2)(-27) + 5(x)(81) + 1(1)(405)

= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x + 243

Jadi, koefisien x2 adalah -270.

c. (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4

= 1(81x4)(1) + 4(27x3)(2y) + 6(9x2)(4y2) + 4(3x)1(8y3) + 1(1)(16y4)

= 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x3y yaitu 216.

d. (x + 2y)4 = 1(x)4(2y)0 + 4(x)3(2y)1 + 6(x)2(2y)2 + 4(x)1(2y)3 + 1(x)0(2y)4

= 1(x4)(1) + 4(x3)(2y) + 6(x2)(4y2) + 4(x)(8y3) + 1(1)(16y4)

= x4 + 8x32y + 24x24y2 + 32xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x2y2 adalah 24.

e. (4 – 2a)4 = 1(4)4(-2a)0 + 4(4)3(-2a)1 + 6(4)2(-2a)2 + 4(4)1(-2a)3 + 1(4)0(-2a)4

= 1(256)(1) + 4(64)(-2a) + 6(16)(4a2) + 4(4)(-8a3) + 1(1)(16a4)

= 256 – 512a + 384a2 – 128a3 + 16a4

Jadi, koefisien a3 adalah -128.